טכניקת HASHING

• פונקציית ערבול HASHING  הינה פונקצייה הממפה מתחום גדול אל טווח קטן בהרבה לדוגמה מתחום של רשומות לטווח של דליים.
• דלי הינו 'טע רצוף בדיסק המורכב מכמה וכמה בלוקים.
• רשומות עם ערכיי מפתח חיפוש שונים יכולים להתמפות לאותו דלי . החיפוש באותו הדלי הינו סדרתי.
• פונקציית עירבול טובה היא פונקצייה הממפה באופן יעיל , אחיד ואקראי רשומות לדליים.

לאחר שאנו מפעילים את פונקציית הHASH על המפתח , נעשה מאחורי הקלעים תירגום של התוצאה למספר ייצוד בינארי (התרגום נעשה ע"י חלוקות חוזרות ב 2 ורישום השאריות).

EXTENDABLE HASH  משתמש ברגע נתון  ב I הסיביות (הספרות ) הפחות משמעותיות בייצוג הבינארי  כלומר ב- I הספרות האחרונות של תוצאת פונקציית ה HASH על ערך מפתח חיפוש.

התפלגויות דגימה

התפלגות דגימה הגדרה:
התפלגות  הדגימה של N תצפיות ממדגם היא התפלגות שכיחות הערכים של הסטטיסטי  הנוצרת באופן תאורטי עלי ידי לקיחת ערכים חוזרים מגודל N וחישוב הערך הסטטיסטי מכל מדגם.

התפלגות הדגימה של הממוצע:


התפלגות הדגימה של הממוצעים היא התפלגות ממוצעי כל המדגמים האפשריים.

התוחלת של הממומצע שווה לתוחלת של ההתפלגות שממנה נבחר המדגם והשונות של בממוצע שווה לשונות של ההתפלגות (אכלוסייה) שממנה נבחר המדגם חלקיי N.


משפט הגבול המרכזי:


המשפט מדבר על התפלגות בפועל של ממוצע מדגם N תצפיות , מבלי להתייחס לאוכלוסייה שממנה נלקח המדגם.
בגדול משפט הגבול המרכזי טוען כי עבור N מספיק גדול אין התייחסות לצורת ההתפלגות שממנה נלקח המדגם .

מדדים- מדדים למיקום יחסי.

מדדים למיקום יחסי-  נועדו כדיי לבחון את המיקום היחסי של התצפית באוסף נתונים - לדוגמה: זטודנט קיבל 75 באינפי ו 82 באלגברה באיזה מהמקצועות הוא טוב יותר?( ציון גבוה יותר ביחס לכיתה).

1)  אחוזונים:

 כל אחד מהערכים הוא אחוזון מסוים בהתפלגות שממנה נלקח , נשווה בין האחוזונים ונוכל לענות על השאלה כלומר באיזה מקצוע נמצא הסטודנט באחוזון גדול יותר.

2) ציון תקן:

ציון התקן מודד את הסטייה של התצפית מהממוצע ביחידות סטיית תקן.

הגדרה: ציון תקן של תצפית שערכה X  X- ממוצע חלקיי סטיית התקן המדגמית של X.

ערך שלילי של ציון תקן מסמן כי התצפית מתחת לממוצע ערך חיובי של ציון תקן מציין כי התצפית מעל הממוצע.

תכונות ציון תקן:

1.הסכום של ציוני התקן = 0.

2.השונות של ציוני בתקן =1 וכמובן מכאן יוצא שגם  סטיית התקן של ציוני התקן.

דוגמה: 

הממוצע באלגברה הוא 80 אם סטיית תקן של 10.

הממוצע באינפי הוא 57 אם סטיית תקן 8.

סטודנט קיבל ב 2 המקצועות 55 , באיזה מקצוע הוא יותר חזק?

ציון תקן באלגברה:  55-80 חלקיי 10 = -2.5.

ציון תקן באינפי : 55-75 חלקיי 8 = -2.5.

בשני המקצועות הסטודנט סאותה רמה באופן יחסי לכיתה.

מדדים- מדדי פיזור.

מדדי פיזור - מדדים המתאים את מידת הפיזור של התצפיות.
דוגמה:
להלן 3 קבוצות נתונים :

א)  5 5 5 5 5 5 5
ב) 4.5   5 5 5 5 5   5.5
ג) 1 3 5 5 5 7 9

הקבוצות שונות זה מזה אולם אצל כולן מתקיים : אמצע טווח = ממוצע = חציון= שכיח = 5.

דרישות ממדי הפיזור:
 1. ערכים לא שליליים. ערך גדול פירושו פיזור גדול.
 2. אם לא קיים פיזור כלומר התצפיות בעלות אותו ערך אזיי מדד הפיזור = 0.
 3. הוספת אותו ערך קבוע לכל אחת מהתצפיות לא תשנה את ערכו של מדד הפיזור.


1) הטווח:


הטווח של מדגם תצפיות שסימונו R שווה להפרש בין התצפית הגדולה ביותר והתצפית הקטנה ביותר.

טווח בין רבעוני:


אורך הקטע הכולל את 50% מהתצפיות האמצעיות.

נגדיר תחילה אחוזונים לצורך הגדרת הטווח.

 אחוזון- הגדרה:

1>P>0    יהי

האחוזון ה P הוא הערך ש 100*P% התצפיות קטנות או שוות לו , כלומר נניח כי P = 0.58 אזי האחוזון ה 58 הוא כל הערכים הקטנים או שווים לערך זה.

לכן נגדיר Q1= X0.25 זהו הרבעון הראשון

Q3= X0.75 זהו הרבעון השלישי.

ואילו הטווח ביו הרבעונים הוא  Q3-Q1 .

דוגמה:

 ישנם 14 תצפיות :

0,1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,5

לכן הרבעון הראשון : 14*0.25 = 3.5 - נעגל כלפיי מעלה =4 והאיבר הרביעי הוא 2 לכן הרבעון הראשון הוא 2.

רבעון שלישי: 14*0.75= 10.5 נעגל כפליי מעלה = 11 ובמקום ה11 נמצא האיבר 3.

לכן הטווח בינהם הוא  3-2=1.

2) שונות מדגמית:

מדד המבטא את פיזור התצפיות מהממוצע .

הסטייה של תצפית מהממוצע היא ערך האיבר - הממוצע.סך הסטיות הממוצע שווה ל 0 .

מכאן לא נוכל להשתמש בסך הבטיות או בממוצע שלהם למדידת פיזור ולכן נגדיר-שונות מדגמית.

3) שונות מדגמית:

השונות המדגמית של N תצפיות מוגדרת :

סך כל הסטיות מהמומצע בריבוע חלקיי N-1.

4) סטיית תקן מדגמית:

סטיית התקן המדגמית היא השורש של השונות מדגמית.

דוגמאות:

נמצא את השונות של אוסף נתונים הכולל את התצפיות הבאות:

8,1,2,6,3

הממוצע הוא  20/5=4

השונות המדגמית היא: 8-4 בריבוע = 16 + 1-4 בריבוע = 9 (25) ועוד 2-4 בריבוע = 4(29) ועוד 6-4 בריבוע =4 (33) ועוד 3-4 בריבוע =1 (34) נחלק 34 ב 4 (N-1) נקבל כי השונות המדגמית היא 8.5 נוציא שורש נקבל כי סתיית התקן המדגמית היא 2.915 .

בפרק הבא מדדים למיקום יחסי.

מדדים- מדדים למיקום מרכזי.

ישנם 3 סוגי מדדים :

* מדדים למיקום מרכזי- ממוצע ,חציון, שכיח , אמצע טווח.
* מדדי פיזור- טווח, טווח בין רבעוני, שונות מדגמית, סטיית תקן מדגמית.
* מדדים למיקום יחסי- אחוזונים ציון תקן.

בפרק זה נעסוק במדדים מיקום מרכזי:

1) ממוצע:
X  = סכום התפיות חלקיי מספר התצפיות

דוגמה:  יהי אוסף נתונים :   5,1,6,2,4
5+1+6+2+4= 18 חלקיי 5 = 3.6.


תכונות המדד :
* מושפע מצפיות חריגות.
* תוספת ערכים באופן סימטרי לממוצע לא תשנה את ערכו.

2) החציון:


החציון מחושב במיקום האמצעי של סדרת נתונים ממויינת באופן עולה או מספר התצפיות +1 חלקיי 2(במידה והסדרת אי זוגית) .
במידה והסדרה זוגית אזיי החישוב הוא כדלקמן : מספר התצפיות חלקיי 2  ועוד מספר התצפיות חלקיי 2 +1 בערך מוחלט כל זה חלקיי 2.

לדוגמה:
1,2,5,8,9,11,13
החציון לסדרה זו הוא 7 +1 חלקיי 2 הם 4  כלומר החציון הוא הספרה 8.

תכונות המדד:

* אינו מושפע מתצפיות חריגות.
* תוספת ערכים באופן סימטרי לחציון לא תשנה את ערכו .

3) שכיח:


השכיח הוא הערך ששכיחותו הגובהה ביותר.

תכונות המדד:

* אינו רגיש לערכים קיצוניים.
*אינו מופשע מכלל המדגם.

4) אמצע טווח:


אמצע הטווח של אוסך נתונים המסומן MR הוא הממוצע של שניי הערכים הקיצוניים בהתפלגות.
דוגמה:
1,2,5,7,9

כלומר הממוצע של 9 ו 1 שזה 5.

תכונות המדד:

* מושפע רק מערכים קיצוניים.
*אינו מושפע מכלל ערכי המדגם.

לסיכום :

תכונות מדדי המיקום המרכזי בהתפלגויות השונות:

*התפלגות פעמונית סימטרית: אמצע טווח= ממוצע= חציון = שכיח.
*התפלגות אי סימטרית ימנית : אמצע טווח > ממוצע> חציון> שכיח.
*התפלגות אי סימטרית שמאלית: אמצע טווח<ממוצע<חציון<שכיח.
*התפלגות אחידה: אמצע טווח = ממוצע= חציון, כל אחת מהתצפיות הוא שכיח.
* התפלגות U : אמצע טווח= ממוצע= חציון, שתי התצפיות החיצוניות הן שכיח. 

טרנזקציות- זמנים וסט פעולות

התנגשויות:

 R(X)     W(X)

 W(X)     R(X)

 W(X)     R(X) 

בר סידור קונפליקט :

הגדרה:  בר סידור קונפליקט הוא זמן בוא יהיה סדר בין הטרנזקציות כלומר ,

T1 -> T2

ולא:

T1->T2->T1

זה מהווה סתירה (מעגל).

בר סידור מבט:

דבר ראשון בר סידור קונפליקט חייב להיות בר סידור מבט אך ההפיך אינו נכון יכול להיות בר סידור מבט אך לא בר סידור קונפליקט.

ישנם 3 חוקים לבר סידור מבט :

1) קריאה:  

קריאה של ערך התחלתי X ממסד הנתונים   היא תקרא אותו ממסד הנתונים גם שנסדר אותו בזמן סדרתי.

לדוגמה  נניח כי T2 קוראת ממסד הנתונים את ערך F ונניח כי אנו מסדרים את T3 כך ש T3 בא ה לפניי T2 , נוסיף נתון כי T3 כותבת את ערך F אז יוצא מכאן ש T2 קוראת לאחר הסידור את הערך ש T3 כתבה ולא את הערך ממסד הנתונים.

2)  אם T1 קראה ערך X ש T2 כתבה גם בזמן סדרתי תקרא ערך ש T2 כתבה.

3) אחרונה שכותבת ערך לפריט תעשה זאת גם בסדרתי (עבור כל פריט מידע).

חוק 3 זהו החוק הכי קל לבדיקה.

בר אישוש:

אם T1 קוראת ערך שנכתב ע"י T2 אז מכאן נובע כי T2 תעשה COMMIT לפני ש T1 תעשה COMMIT.

CASCADELESS:

 כמו בר אישוש אך יותר חזק כלומר יכול להיות זמן בר אישוש ולא CASCADELLESS אך לא יכול להיות זמן CASCADELLESS ולא בר אישוש.

נניח כי T1 כותבת את X ו T2 קוראת לאחר מכן את X אז מכאן נובע כי ה COMMIT של T1 יהיה לפני הקריאה של T2

מדיניות ייצור למלאי מול ייצור להזמנה 

קריטריון	ייצור למלאי	ייצור להזמנה
סוג המוצרים	מוצרים סטנדרטיים (מוצרי מדף)	מוצרים על פי דרישה מפורטת של לקוח
העברה למלאי	המוצרים המוגמרים מועברים למלאי במחסנים  ובמרכולים	המוצרים המוגמרים אינם נשמרים במלאי אלא מועברים ללקוח
העברה ללקוח	העברה ללקוח דרך גורמי ביניים (סיטונאים, קמעונאים)	העברה ישירה ללקוח
אחזקת מלאי חומר גלם	מחייב אחזקת כמות גדולה של חומרי גלם לייצור שוטף	אינו מחייב אחזקת חומרי גלם, אבל  יש לזכור שאחזקת חומרי גלם יכולה לקצר זמני אספקה
זמן אספקה	מסופק ללקוח באופן מיידי	זמן האספקה נקבע על פי הזמן שנדרש לארגון להכין את ההזמנה

הבקרה על המלאי וחשיבותה

סעיף המלאי בארגונים מהווה לא פעם מקור להוצאות כספיות מיותרות.  הבזבוז במלאי מתבטא בעלויות הישירות של האחסון, השינוע, התפעול, הפחת והמימון. כדי למנוע בזבוז מיותר ולקבל עלויות מיטביות מתבצע תהליך בקרה שוטף על המלאי.
תהליך הבקרה מקיף את כל פריטי המלאי, אבל  מאחר שניהול מדיניות מלאי בארגונים גדולים היא משימה מורכבת, מרכזים מאמצים לניהול מלאי בקבוצות פריטים שערך הצריכה השנתית הכספית שלהם גבוה. ככל שהערך הכספי נמוך יותר, מידת הניהול והבקרה של הפריט נמוכה יותר (שיטת ABC לניהול מלאי).

קבוצה A - ניהול מדיניות מלאה (חישוב כמות מיטבית להזמנה, זמן ההזמנה, מלאי ביטחון, עלות כוללת למדיניות ועוד. בקבוצה זו יתבצע רישום ומעקב צמוד אחר רמות המלאי של הפריטים).
קבוצה B -  ניהול מדיניות חלקית (חישוב כמות מיטבית להזמנה, זמן ההזמנה, מלאי ביטחון, עלות כוללת למדיניות ועוד, אבל גמישות רבה בתדירות הבקרה על המלאי, גמישות מסוימת בכמות להזמנה ובמלאי הביטחון).
קבוצה C - אין מדיניות קבועה. הכמות מוזמנת על פי שיקול דעת של המבצעים, והמעקב לפי שיטות פשוטות שאינן מחייבות רישומים ועדכונים רבים.

לאחר ששייכנו את הפריט לאחת הקבוצות דואגים לבצע בקרה על המלאי ולשמור על רמות המלאי שנקבעו כנכונות.

מטרות הבקרה על המלאי

• מניעת חוסר - בקרה על המלאי מאפשרת מניעת חוסר, רציפות בייצור ,הבטחת רמת שירות ללקוח ועמידה ביעדי מכירות.
• חיסכון ומניעת בזבוז - רציפות הייצור מנטרלת עיקובים מיותרים ומונעת זמני בטלה. הבקרה דואגת לעלויות מיטביות של אחזקת מלאי על ידי צמצום רמת הפחת, מזעור נזקי אחסנה, הפחתת ההתיישנות הפיזית והטכנולוגית ומניעת צריכה לא מבוקרת.
• נגישות פיננסית - בקרת רמות המלאי וערכן הכספי מבטיחה כי ההון המושקע במלאי לא יגדל מעבר למתוכנן. יש לזכור כי ככל שההשקעה במלאי גדולה יותר כושר הנזילות של הארגון נמוך יותר, מה שעלול ליצור קשיים בתפקוד השוטף.

ניהול מלאי

אחסון (Storage) -  שמירה על מוצרים עד שיידרשו לשימוש או למכירה.

המחסן מהווה חוליה חשובה במנגנון המלאי בארגון.  המחסן מבטיח שמירה נאותה על החומרים השונים הנכנסים אליו, מאפשר ניהול תקין של המלאי ומתן שירות טוב למחלקות המפעל השונות.
ניהול מחסן באופן יעיל ומקצועי הוא אחד מהתנאים החשובים לניהול מוצלח של מערך לוגיסטי.
כיום כמעט שאין מפעל, עסק או חברה שלא עדכנו את תפעול המחסן למערכות ממוחשבות מתקדמות ומערכות מידע וטכנולוגיה מתקדמות  שלא ניתן לפעול בלעדיהן.

הפעילויות המתבצעות במחסן:

• טיפול בקבלת משלוחים מספקים
• ספירות מלאי ובקרה מלאה על רמות המלאי
• הכנת מנות המלאי וניפוק למחלקות השונות  באמצעות מערך השינוע.
• הקפדה על תנאי אחסון

o שמירה על תנאים פיזיים (טמפרטורה , לחות, לחץ)
o מגבלות קירבה לחומרים אחרים (כאשר הקירבה עלולה ליצור מצבים מסוכנים)
o תחזוקה שוטפת על פי צורך.

• קבלת מוצרים גמורים מהייצור
• קבלת הזמנות מלקוחות
• הכנת המשלוחים ללקוחות

 סוגי אחסון

– אחסון סחורה בתפזורת
– במדפים
– במכלים
– בעגלות
– במתקנים תלויים
– במגירות
– בארונות

ניהול מלאי

ניהול מלאי

מלאי

כל ארגון צורך פריטים לביצוע הפעילויות השונות המכוונות להשגת מטרותיו. מלאי פריטים נוצר כאשר חלק מהפריטים נמצא במצב של המתנה לפני כניסתם לשימוש. את מלאי הפריטים ניתן למצוא בכל שלב משלבי התהליך, בתחילה כחומר גלם, לאחר מכן כמלאי בתהליך ולבסוף מלאי תוצרת גמורה.

סוגי מלאים

מלאי חומר גלם - מלאי חומרים המיועדים לייצור. מלאי זה מאפשר רציפות בייצור,  וגודלו נקבע על פי עלות, זמן ייצור וסדרי עדיפויות של הארגון.
מלאי בתהליך - חומרים הנמצאים בתוך קו הייצור בהמתנה בין תחנות העבודה השונות. מלאי זה נובע מזמני עיבוד שונים של תחנות העבודה.
מלאי תוצרת גמורה - מלאי מוצרים מוגמרים המיועדים למכירה וממתינים לאספקה ללקוחות.
מלאי חומרי עזר - חומרים שאינם משתתפים באופן ישיר בייצור אבל  נחוצים להשלמת התהליך. לדוגמה: צורכי משרד, חומרי אריזה ועוד.
 
עלות מול תועלת בניהול מלאי

המלאי הוא אחד הסעיפים הבולטים המשפיעים על סעיף ההוצאות הארגוניות, ולכן ניהול המלאי עולה יותר ויותר על שולחן הדיונים העסקי.

קביעת מדיניות מלאי נועדה לאפשר אספקה רציפה של פריטים, ובאמצעותה מחלקת הייצור יכולה לייצר בצורה סדירה תוך שימוש בחישובי כדאיות כלכלית והתחשבות בדרישת השוק למוצר.
השאלות המרכזיות העומדות בפני הארגון בנוגע לאחזקת מלאי:

• האם יש צורך באחזקת מלאי?
• מהי הכמות שיש להזמין בכל פעם?
• מתי להזמין?
• מהו גודל מלאי הביטחון שיש להחזיק ומהו גודלו?
• באילו פריטים יש "למקד" את המאמץ של ניהול מלאי?

עלויות הכרוכות בניהול מלאי

עלות העבודה - עלות העבודה של האחראים על ניהול המלאי מנהלים: מנהלי מחסן, מחסנאים, פקידי מחסן, מעתד מלאי ועוד.
עלות המיחשוב - עלות רכישה ותחזוקה שוטפת של המחשבים והתוכנות הלוגיסטיות.
עלות הניהול - בניית נהלים, אישורם והטמעתם במערכת. לדוגמה: נוהל אחסנה , נוהל טיפול, נוהל אספקה ועוד.

תועלות המתקבלות מניהול מלאי

חיסכון באחזקת מלאי - אופטימיזציה בין העלויות הכרוכות באחזקת המלאי מצד אחד ועלויות הקשורות בהזמנות חוזרות מצד אחר.
עמידה בזמני אספקה - ניהול נכון של המלאי מאפשר ייצור שוטף ועמידה בלוחות זמנים וזמני אספקה שנקבעים מראש. יש לזכור: אספקה בזמן תוביל להזמנות נוספות וללקוחות חדשים.
ניצול מרבי של גורמי ייצור - ניהול נכון של המלאי יאפשר תהליך ייצור רציף וימנע השבתות, עיקובים וזמני בטלה  של גורמי ייצור.

שיקולים בעד ונגד אחזקת מלאי

אחזקת המלאי כרוכה בהוצאה כספית ובסיכונים. סיכונים כספיים אלו נובעים משינויי לא צפויים ברמות הביקוש, בירידת ערך המלאי, באובדן או בנזק העלולים להיגרם למלאי.

שיקולים בעד אחזקת מלאי

שיקולים כלכליים - הגדלת הכמויות בהזמנה תזכה את הארגון בהנחות על כמות , תוריד את הסיכון של עליית מחירים  ותצמצם את כמות ההזמנות בשנה, ועל ידי כך תצמצם את העלויות הכרוכות בביצוע הזמנה.
שיקול שיווקי - שיפור כושר התחרות, העלאת רמת השירות ללקוח באמצעות הבטחת זמינות המוצרים מיידית.
מענה לעונתיות -  במוצר עונתי ניתן לייצר עודף בתקופה חלשה ולשמור במלאי לטובת עונה חזקה, ועל ידי כך לשמור על רמה מאוזנת של גורמי ייצור לאורך השנה.

שיקולים נגד אחזקת מלאי

מחיר ההון - הכסף המושקע במלאי יכול להיות מושקע בנתיבי השקעה שונים ולשאת ריבית.
עלויות אחסון - השכרה/רכישה של מבנה, ארנונה, ביטוח, תחזוקה שוטפת (שימון, קירור, חימום יובש...).
התיישנות - התיישנות פיזית ובלאי של חומרים, התיישנות טכנולוגית בעקבות שינויים טכנולוגיים בשוק והתיישנות  אופנתית בעקבות שינוי טעם הצרכנים. 

החלטות השקעה לטווח ארוך והיוון זרמי מזומנים

 

תקציב הון – זהו תהליך קבלת החלטות השקעה בנכסים קבועים, חשיבותו נובעת ממס' גורמים:

1) עלויות גבוהות   2) השפעות ארוכות טווח   3) תחזית מכירות – קיבולת חוסר/יתר

תהליך תקצוב הון :

1) איתור השקעות חדשות

2) אומדן זרמי מזומנים ומיון פרוייקטים.

3) ניסוח כללי, החלטה לקבלה/לדחייה של פרוייקטים.

4) בחירת השקעה אופטימלית.

5) ביצוע

6) מעקב (קרא בספר)

השקעה וחסכון

חסכון – דחיית הצריכה מההווה לעתיד משמעותה חסכון, הויתור על הצריכה בהווה ודחייתה לעתיד דורשים פיצוי. הפיצוי זו - הריבית.

הפיצוי השקף 2 השפעות :

1) פירעון, דחיית הצריכה, תגדיל את העושר בעתיד.

2) העדפת זמן, אנשים מעדיפים צריכה בהווה ולא בעתיד.

מסקנה: שערי הריבית בהכרך חיוביים, המשמעות, סכום כסף עתידי יהיה גדול יותר, משום שהוא כולל את הפיצוי שדורשים המשקיעים.

מע"ע – מקדם ערך עתידי

ערך עתידי

ברשותנו סכום כסף ונרצה לדעת מה ערכו של הסכום בנק' זמן כלשהי בעתיד.

דוגמא:

הגדרות :

תחילת שנה	סוף שנה
100	110
110	121
121	133

V₀ – ערך נוכחי (ערך של הכסף היום)

  r – שער הריבית                                                               

Vt – ערך עתידי (ערך של הכסף בעוד t תקופות)

   t – פרק הזמן

נחשב מה ערכו של הסכום בתום שנה אחת.

10% - r

V1 – 100 ^x 1.1 = 110

V2 – 110 ^x 1.1 = 121

V2 – 100 ^x 1.1² = 121

להלן הנוסחה:

דוגמא :

Vo = 100

r = 10%

t = 3

לבדוק את ההרכב של 121

קרן :                  100 ש"ח.

ריבית שנה 1 :    10 ש"ח  (10% x 100)

ריבית שנה 2 :    10 ש"ח  (10% x 100)

ריבית :              1 ש"ח  (10% x 10)

------------------------------------------

סה"כ                 121 ש"ח

מסקנה : התהליך מתאר ריבית דריבית, כלומר, גם מרכיב הקרן וגם מרכיב הריבית שנצברה בשנים קודמות, שניהם צוברות ריבית נוספת.

מסקנה נוספת : הערך העתידי הולך וגדל : א) עם הגידול בפרק הזמן ב) עם הגידול בשער הריבית.

מע"נ – מקדם ערך נוכחי

ערך נוכחי

ברשותנו סכום כסף בעתיד ונרצה לדעת מהם ערכו היום, התהליך נקרא היוון והוא התהליך הפוך לערך העתידי.

V₀ – ערך נוכחי (ערך של הכסף היום)                   r – שער הריבית                                                              

Vt – ערך עתידי (ערך של הכסף בעוד t תקופות)     t – פרק הזמן

להלן הנוסחה:

דוגמא :

Vt = 100

r = 10%

t = 3

מסקנה : הערך הנוכחי הולך וקטן :

א) ככל שפרק הזמן גדול יותר.

ב) ככל ששער הריבית גבוה יותר.

ערך עתידי סדרתי – סוף תקופה

לפנינו סדרת תשלומים/תקבולים בפרקי זמן קבועים ונרצה לדעת מה ערכה של הסדרה בנק' זמן מסויימת בעתיד.

דוגמא : מהו ערך העתידי בסוף השנה חמישית בהינתן 5 תשלומים שנתיים של 100 ש"ח. ושער הריבית %10.

	מעע"ס – מקדם ערך עתידי סדרתי

 

5	4	3	2	1	0
100	100	100	100	100

100

                                                                               

 

                                                                     *

                                                                     *

                                                                     *

                                                                ---------

                                                                        סה"כ 610

הגדרות :

V₀ – ערך נוכחי (ערך של הכסף היום)  

Vt – ערך עתידי (ערך של הכסף בעוד t תקופות)    

a – אנונה (סכום סדרתי קבוע המשתלם/מתקבל בפרקי זמן קבועים)

r – שער הריבית.

t –  מס' התשלומים.

 להלן הנוסחה :

ערך עתידי סדרתי – תחילת תקופה

אותה הדוגמא כמו קודם למעט העובדה שהתקבולים/תשלומים מתבצעים בתחילת כל שנה ואילו הפירעון נותר ללא שינוי בתום השנה החמישית.

5	4	3	2	1	0
100	100	100	100	100

1.1 x 100

                                                                               

 

מסקנה : במעבר מסדרה במונחי סוף תקופה לסדרה במונחי תחילת תקופה, יש לכפול במקדם (R+1) משום שכל אחד מהסכומים צובר ריבית תקופתית אחת נוספת.

 להלן הנוסחה :

ערך נוכחי סדרתי – סוף תקופה

לפנינו סדרת תקבולים/תשלומים קבועה וברצוננו לדעת מה ערכה של הסדרה היום.

התהליך נקרא היוון.

דוגמא : מהו הערך הנוכחי בהינתן 5 תשלומים סוף שנתיים בסך 100 ש"ח כל אחד כאשר שער הריבית הוא 10%.

           

           היום

5	4	3	2	1	0
100	100	100	100	100

100 1.1

                                                                                

	100 21.1
		100 31.1

 

                                                                          

                                                                           *              

                                                                           *

                                                                           *

                                                                     ---------

                                                                   סה"כ 379

הגדרות :

V₀ – ערך נוכחי (ערך של הכסף היום)  

Vt – ערך עתידי (ערך של הכסף בעוד t תקופות)    

a – אנונה (סכום סדרתי קבוע המשתלם/מתקבל בפרקי זמן קבועים)

r – שער הריבית.

t – מס' התשלומים.

ערך נוכחי סדרתי – תחילת תקופה

אותה הדוגמא כמו קודם למעט העובדה שהתקבולים/תשלומים מתבצעים בתחילת תקופה ואנו נדרשים לחשב את ערכה של הסדרה היום.

5	4	3	2	1
100	100	100	100	100

x

100 1.1

                                                                                 

1.1                                           

 

1.1                                           

			100 31.1
	x

 

1.1                                           

מסקנה : במעבר מסדרה במונחי סוף תקופה לסדרה במונחי תחילת תקופה, יש לכפול במקדם (R+1) כדי לתקן את הטעות המתבצעת בטבלת ההיוון.

 להלן הנוסחה :

סיכום:

1) במעבר מסדרה במונחי סוף תקופה לסדרה במונחי תחילת תקופה וגם בחישוב ערך תקופתי

    סדרתי וגם בחישוב ערך נוכחי סדרתי, בשני המקרים, יש לכפול במקדם(1 + r)  

2) t בסדרה הוא תמיד מס' התשלומים ולעולם לא פרק הזמן.

שינוי שערי ריבית בין תקופות

1) ערך עתידי

 - מכפלה

Σ - סכום

דוגמא:

V₀ – 100                  = 100 ^x  1.1 ^x  1.1  Vt = 100 ^x   1.1²

t –  2 

r – 10%

נניח עתה ששער הריבית בשנה השניה ירד ל-8%

                                                       Vt = 100 ^x  1.1 ^x  1.08

2) ערך נוכחי

Vt –  100

t –  2 

r – 10%

  100           100                                                                                 

V₀ =     1.1²  =   1.1 ^x  1.1

נניח עתה ששער הריבית בשנה שניה עלה ל-12%

        100                                                                                 

V₀ =       1.1 ^x  1.12

ערך נוכחי לזרם אינסופי

לפנינו סדרת תקבולים / תשלומים בפרקי זמן קבועים לאינסוף ונרצה לדעת מה ערכה של הסדרה היום.

אינסוף	………..	………..	………...	3	2	1	- היום0
100				100	100	100

דוגמא : מה ערכה של הסדרה הנ"ל תחת ההנחה ששער הריבית 10%

שתי החלופות זהות, 100 ₪ היום זהות לסדרה אינסופית של 100 ₪, ככה שפרק הזמן הולך וגדל, הסכום הסדרתי הקבוע מאבד מערכו.

לדוגמא נחשב את התשלום ה-50.     

התאמת שערי ריבית לתקופה

לעיתים יש מצבים בהם התקופה הרלוונטית אינה מתאימה לצורה בה נתונה הריבית,

לדוגמא הריבית שנתית ואילו פרק הזמן שבוע, רבעון, חודש, שנה וכו'.

במקרים כאלו, יש צורך בהתאמת הריבית לפרק הזמן.

* שים לב – הזמן הוא ברזל יצוק – לעולם לא ניתן לשנות את הזמן ולכן השינוי היחידי יהיה בשער הריבית.

1. ריבית נקובה / פשוטה – זו ריבית המחשבת אך ורק על מרכיב הקרן, כלומר, אם נתונה

    ריבית חודשית, נכפול ב-12 לקבלת ריבית שנתית ואם נתונה ריבית שנתית, נחלק ב-12

    לקבלת ריבית חודשית.

    מסקנה : בריבית נקובה/פשוטה פעולות החשבון הן כפל או חילוק

2. ריבית אפקטיבית / ריבית דה-ריבית – זו ריבית המחושבת גם על מרכיב הקרן וגם על מרכיב

    הריבית, כלומר, אם נתונה ריבית חודשית, יש להעלות בחזקה 12 לקבלת ריבית שנתית ואם

    נתונה ריבית שנתית יש להוציא שורש 12 לקבלת ריבית חודשית.

    מסקנה : בריבית אפקטיבית/ריבית דה-ריבית – פעולות החשבון הן העלאה בחזקה או הוצאת

    שורש

הצגה מתמטית :

  –  ריבית אפקטיבית שנתית 

r – ריבית נקובה לשנה

t – מס' תקופות

דוגמא : נתונה ריבית חודשית של 1%, מהי הריבית האפקטיבית השנתית

דוגמא : נתונה ריבית אפקטיבית שנתית של 26.82%, מה הריבית החודשית ?

                                                                                                                                                 

ריבית מראש

ריבית מראש זו ריבית המשולמת במועד לקיחת ההלוואה.

המלווה מקזז מהקרן את הריבית מראש ומעביר את הסכום נטו ללווה.

 - ריבית  

d – ריבית נקובה מראש לשנה

n – פרק הזמן

לדוגמא : בנק גובה ריבית שנתית מראש בשיעור 15%, מה הריבית האפקטיבית השנתית ?

שתי החלופות זהות לחלוטין, 15% בתחילת השנה זהים לחלוטין ל-17.6% בתום השנה.

נניח שההלוואה היא 1000 ₪

150 ₪ זה בדיוק כמו 176 ₪ בעתיד.

אג"ח

מחירה של אג"ח הוא היוון של זרמי מזומנים שהאגרת תניב במהלך שנים קודמות. אג"ח מניבה שני סוגי זרמי מזומנים:

1. ריבית שקלית, המחושבת באופן הבא: ערך נקוב אג"ח "כפול" ריבית נקובה אג"ח
2. הערך הנקוב – זהו פדיון הקרן בתום התקופה.

בשאלות על אג"ח נצפה לקבל שני סוגי ריביות:

1. ריבית נקובה – מחושבת אך ורק לחישוב ריבית שקלית.
2. ריבית שוק / ריבית על אג"ח דומות – מחושבת אך ורק להיוון זרמי המזומנים.

שאלה 8 (עמ' 27)

 = 32% * 1000 = 320ריבית שקלית

ש"ח    ע.נ.      נקובה

חישוב זמן 0 סדרה:

תשלום ראשון בזמן:                                6

פרק זמן בין התשלומים:                          4 

                                                  2

 - 4 שנים

2

1

1

מסקנה:

307.5 ש"ח היום זהים לסדרה אינסופית של 320 ש"ח כל 4 שנים החל מתום השנה השישית ועד אין-סוף. הסיבה: פרק הזמן בין תשלומים ארוך מאוד (4 שנים) והריבית גבוהה מאוד (78%), לפיכך ערכה של הסדרה נשחק מאוד. פרק זמן קבוע אינו מתאים (2=6-4), לכן יש תיקון, כלומר יש שימוש ב-2 ריביות שונות: ריבית 4-שנתית לתשלום 4-שנתי וריבית חד-שנתית לתיקון שאורכו שנתיים (בחזקת 2).

שאלה 9 (עמ' 27)

שאלה 10 (עמ' 27)

בנק א':   

בנק ב':     שנתי                  רבעון

                שנתי                 רבעון

                המחצית הראשונה של השנה

                המחצית השנייה של השנה

                כולל לשנה

בנק ג':      מראש

בנק ד':     כולל

   0.04– זו המנה , לכן לא נחלק את זה שוב פעם ב-3, אבל כן נעלה בחזקת 3         כי הריבית היא ל-3 חודשים.

שאלה 1 (עמ' 28)

כאילו = בפועל

 חודשית

 שנתית

שאלה 2 (עמ' 28)

עלות מכונית חדשה:                                          20000

תמורה ממכירת המכונית הישנה:                        5000

יתרה להשלמה:                                     15000

שאלה 3 (עמ' 29)

חישוב זמן 0 סדרה:

תשלום ראשון בזמן:                              2

פרק זמן קבוע בין תשלומים:      1

                                                1

תשלומים = חד-פעמי

 חודשית

שאלה 4 (עמ' 29)

מסלול 1:              

מסלול 2:              

שאלה 5 (עמ' 29)

הכנסות = הוצאות

שאלה 6 (עמ' 30)

A.                200

B.                

C.                

D.               

טיפ למבחן:

כמה שנים יעברו עד שסכום כסף יכפיל את עצמו אם הריבית השנתית הינה 5%?

א. 14;  ב. 15

הסכום יכפיל את עצמו לאחר 14.2 תקופות. תשובה 14 איננה נכונה כלל, משום שלאחר 14 תקופות הסכום כמעט יכפיל את עצמו אבל לא לגמרי. לכן התשובה הנכונה היא א', 15 תקופות.

לוחות סילוקין

לוח סילוקין מתאר את ההלוואה ופרעון ההלוואה לאורך זמן. קיימים שני סוגי לוחות סילוקין:

א.      לוח סילוקין רגיל. לוח זה מבוסס על שיטת ריבית פשוטה כלומר מרכיב הקרן בלבד צובר ריבית. בלוח סילוקין רגיל התשלום על חשבון הקרן קבוע והוא מחושב על-פי הנוסחה הבאה:

תשלום קבוע ע"ח הקרן

שאלה 9 (עמ' 24)

תשלום קבוע ע"ח הקרן

	I	II=I*r%	III	IV=II+III	V
מס"ד	י.פ.	ע"ח הריבית	ע"ח הקרן	סה"כ קרן + ריבית	י.ס.
1	50000	6000	10000	16000	40000
2	40000	4800	|	14800	30000
3	30000		|
4	20000		|
5	10000		10000
			50000

ב.      לוח שפיצר. לוח זה מבוסס על שיטת ריבית דריבית, כלומר גם מרכיב צובר ריבית. לכן, התשלום הכולל הקבוע (קרן + ריבית) מחושב באופן הבא:

תשלום כולל קבוע (קרן+ריבית)

            בחזרה לשאלה 9:

             תשלום כולל קבוע (קרן+ריבית)

	I	II=I*r%	III=IV-II	IV	V=I-III
מס"ד	י.פ.	ע"ח הריבית	ע"ח הקרן	סה"כ קרן + ריבית	י.ס.
1	50000	6000	7870	13870	42130
2	42130	5066	8814	|	33316
3				|
4				|
5				13870
		19350	50000	69350

           

הערות:

1. בלוח שפיצר התשלום ע"ח הקרן הולך וגדל לאורך זמן ואילו התשלום ע"ח הריבית הולך וקטן לאורך זמן.
2. בלוח רגיל ההחזר הכולל ע"ח הריבית מסתכם ל-18000; בלוח שפיצר ההחזר הכולל ע"ח הריבית מסתכם ל-19350. הסיבה: לוח שפיצר מבוסס על שיטת הריבית דריבית.

שאלה 11 (עמ' 27)

10000 = הלוואה

10 = n  – תשלומים חודשיים

1% = 12%/12 = r חודשי

 תשלום כולל קבוע (קרן+ריבית)

 יתרת ההלוואה

נעבור ללוח סילוקין רגיל:

צריך למצוא תשלום קבוע ע"ח הקרן:

יש למצוא את התשלום הכולל באוגוסט:

	I	II=I*r%	III	IV=II+III	V
מס"ד	י.פ.	ע"ח הריבית	ע"ח הקרן	סה"כ קרן + ריבית	י.ס.
7	4120		1030
8	3090	31	1030	4061
9	2060		1030
10	1030		1030
			4120