התפלגויות דגימה

התפלגות דגימה הגדרה:
התפלגות  הדגימה של N תצפיות ממדגם היא התפלגות שכיחות הערכים של הסטטיסטי  הנוצרת באופן תאורטי עלי ידי לקיחת ערכים חוזרים מגודל N וחישוב הערך הסטטיסטי מכל מדגם.

התפלגות הדגימה של הממוצע:


התפלגות הדגימה של הממוצעים היא התפלגות ממוצעי כל המדגמים האפשריים.

התוחלת של הממומצע שווה לתוחלת של ההתפלגות שממנה נבחר המדגם והשונות של בממוצע שווה לשונות של ההתפלגות (אכלוסייה) שממנה נבחר המדגם חלקיי N.


משפט הגבול המרכזי:


המשפט מדבר על התפלגות בפועל של ממוצע מדגם N תצפיות , מבלי להתייחס לאוכלוסייה שממנה נלקח המדגם.
בגדול משפט הגבול המרכזי טוען כי עבור N מספיק גדול אין התייחסות לצורת ההתפלגות שממנה נלקח המדגם .

מדדים- מדדים למיקום יחסי.

מדדים למיקום יחסי-  נועדו כדיי לבחון את המיקום היחסי של התצפית באוסף נתונים - לדוגמה: זטודנט קיבל 75 באינפי ו 82 באלגברה באיזה מהמקצועות הוא טוב יותר?( ציון גבוה יותר ביחס לכיתה).

1)  אחוזונים:

 כל אחד מהערכים הוא אחוזון מסוים בהתפלגות שממנה נלקח , נשווה בין האחוזונים ונוכל לענות על השאלה כלומר באיזה מקצוע נמצא הסטודנט באחוזון גדול יותר.

2) ציון תקן:

ציון התקן מודד את הסטייה של התצפית מהממוצע ביחידות סטיית תקן.

הגדרה: ציון תקן של תצפית שערכה X  X- ממוצע חלקיי סטיית התקן המדגמית של X.

ערך שלילי של ציון תקן מסמן כי התצפית מתחת לממוצע ערך חיובי של ציון תקן מציין כי התצפית מעל הממוצע.

תכונות ציון תקן:

1.הסכום של ציוני התקן = 0.

2.השונות של ציוני בתקן =1 וכמובן מכאן יוצא שגם  סטיית התקן של ציוני התקן.

דוגמה: 

הממוצע באלגברה הוא 80 אם סטיית תקן של 10.

הממוצע באינפי הוא 57 אם סטיית תקן 8.

סטודנט קיבל ב 2 המקצועות 55 , באיזה מקצוע הוא יותר חזק?

ציון תקן באלגברה:  55-80 חלקיי 10 = -2.5.

ציון תקן באינפי : 55-75 חלקיי 8 = -2.5.

בשני המקצועות הסטודנט סאותה רמה באופן יחסי לכיתה.

מדדים- מדדי פיזור.

מדדי פיזור - מדדים המתאים את מידת הפיזור של התצפיות.
דוגמה:
להלן 3 קבוצות נתונים :

א)  5 5 5 5 5 5 5
ב) 4.5   5 5 5 5 5   5.5
ג) 1 3 5 5 5 7 9

הקבוצות שונות זה מזה אולם אצל כולן מתקיים : אמצע טווח = ממוצע = חציון= שכיח = 5.

דרישות ממדי הפיזור:
 1. ערכים לא שליליים. ערך גדול פירושו פיזור גדול.
 2. אם לא קיים פיזור כלומר התצפיות בעלות אותו ערך אזיי מדד הפיזור = 0.
 3. הוספת אותו ערך קבוע לכל אחת מהתצפיות לא תשנה את ערכו של מדד הפיזור.


1) הטווח:


הטווח של מדגם תצפיות שסימונו R שווה להפרש בין התצפית הגדולה ביותר והתצפית הקטנה ביותר.

טווח בין רבעוני:


אורך הקטע הכולל את 50% מהתצפיות האמצעיות.

נגדיר תחילה אחוזונים לצורך הגדרת הטווח.

 אחוזון- הגדרה:

1>P>0    יהי

האחוזון ה P הוא הערך ש 100*P% התצפיות קטנות או שוות לו , כלומר נניח כי P = 0.58 אזי האחוזון ה 58 הוא כל הערכים הקטנים או שווים לערך זה.

לכן נגדיר Q1= X0.25 זהו הרבעון הראשון

Q3= X0.75 זהו הרבעון השלישי.

ואילו הטווח ביו הרבעונים הוא  Q3-Q1 .

דוגמה:

 ישנם 14 תצפיות :

0,1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,5

לכן הרבעון הראשון : 14*0.25 = 3.5 - נעגל כלפיי מעלה =4 והאיבר הרביעי הוא 2 לכן הרבעון הראשון הוא 2.

רבעון שלישי: 14*0.75= 10.5 נעגל כפליי מעלה = 11 ובמקום ה11 נמצא האיבר 3.

לכן הטווח בינהם הוא  3-2=1.

2) שונות מדגמית:

מדד המבטא את פיזור התצפיות מהממוצע .

הסטייה של תצפית מהממוצע היא ערך האיבר - הממוצע.סך הסטיות הממוצע שווה ל 0 .

מכאן לא נוכל להשתמש בסך הבטיות או בממוצע שלהם למדידת פיזור ולכן נגדיר-שונות מדגמית.

3) שונות מדגמית:

השונות המדגמית של N תצפיות מוגדרת :

סך כל הסטיות מהמומצע בריבוע חלקיי N-1.

4) סטיית תקן מדגמית:

סטיית התקן המדגמית היא השורש של השונות מדגמית.

דוגמאות:

נמצא את השונות של אוסף נתונים הכולל את התצפיות הבאות:

8,1,2,6,3

הממוצע הוא  20/5=4

השונות המדגמית היא: 8-4 בריבוע = 16 + 1-4 בריבוע = 9 (25) ועוד 2-4 בריבוע = 4(29) ועוד 6-4 בריבוע =4 (33) ועוד 3-4 בריבוע =1 (34) נחלק 34 ב 4 (N-1) נקבל כי השונות המדגמית היא 8.5 נוציא שורש נקבל כי סתיית התקן המדגמית היא 2.915 .

בפרק הבא מדדים למיקום יחסי.

מדדים- מדדים למיקום מרכזי.

ישנם 3 סוגי מדדים :

* מדדים למיקום מרכזי- ממוצע ,חציון, שכיח , אמצע טווח.
* מדדי פיזור- טווח, טווח בין רבעוני, שונות מדגמית, סטיית תקן מדגמית.
* מדדים למיקום יחסי- אחוזונים ציון תקן.

בפרק זה נעסוק במדדים מיקום מרכזי:

1) ממוצע:
X  = סכום התפיות חלקיי מספר התצפיות

דוגמה:  יהי אוסף נתונים :   5,1,6,2,4
5+1+6+2+4= 18 חלקיי 5 = 3.6.


תכונות המדד :
* מושפע מצפיות חריגות.
* תוספת ערכים באופן סימטרי לממוצע לא תשנה את ערכו.

2) החציון:


החציון מחושב במיקום האמצעי של סדרת נתונים ממויינת באופן עולה או מספר התצפיות +1 חלקיי 2(במידה והסדרת אי זוגית) .
במידה והסדרה זוגית אזיי החישוב הוא כדלקמן : מספר התצפיות חלקיי 2  ועוד מספר התצפיות חלקיי 2 +1 בערך מוחלט כל זה חלקיי 2.

לדוגמה:
1,2,5,8,9,11,13
החציון לסדרה זו הוא 7 +1 חלקיי 2 הם 4  כלומר החציון הוא הספרה 8.

תכונות המדד:

* אינו מושפע מתצפיות חריגות.
* תוספת ערכים באופן סימטרי לחציון לא תשנה את ערכו .

3) שכיח:


השכיח הוא הערך ששכיחותו הגובהה ביותר.

תכונות המדד:

* אינו רגיש לערכים קיצוניים.
*אינו מופשע מכלל המדגם.

4) אמצע טווח:


אמצע הטווח של אוסך נתונים המסומן MR הוא הממוצע של שניי הערכים הקיצוניים בהתפלגות.
דוגמה:
1,2,5,7,9

כלומר הממוצע של 9 ו 1 שזה 5.

תכונות המדד:

* מושפע רק מערכים קיצוניים.
*אינו מושפע מכלל ערכי המדגם.

לסיכום :

תכונות מדדי המיקום המרכזי בהתפלגויות השונות:

*התפלגות פעמונית סימטרית: אמצע טווח= ממוצע= חציון = שכיח.
*התפלגות אי סימטרית ימנית : אמצע טווח > ממוצע> חציון> שכיח.
*התפלגות אי סימטרית שמאלית: אמצע טווח<ממוצע<חציון<שכיח.
*התפלגות אחידה: אמצע טווח = ממוצע= חציון, כל אחת מהתצפיות הוא שכיח.
* התפלגות U : אמצע טווח= ממוצע= חציון, שתי התצפיות החיצוניות הן שכיח.